Diferencias al enseñar Geometría Euclídea y Geometría Analítica

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Existe una importante diferencia entre la Geometría Euclídea y la Geometría Analítica, pues, a pesar de que ambas trabajan con los mismos objetos matemáticos, su área de trabajo y aplicaciones son distintas.
Algunas de las diferencias entre estas geometrías, se generan porque la geometría analítica trabaja con un plano coordenado y la geometría euclídea no lo hace, de igual forma, la geometría analítica establece ecuaciones para cada uno de sus objetos de estudio y la geometría Euclídea no se desarrolla de esta forma.
Un ejemplo de sus diferencias se puede apreciar en la definición de los objetos geométricos, así como las propiedades de cada uno de estos objetos matemáticos y sus demostraciones. Por ejemplo, veamos la definición de circunferencia, desde cada una de las geometrías:
• Desde la Geometría Euclídea: Sea P un punto de un plano π y r un número positivo. El conjunto de todos los puntos del plano cuya distancia a P es igual a r se llama circunferencia de centro P y radio r.
• Desde la Geometría Analítica: Es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que se conserva siempre a una distancia constante de un punto fijo de ese plano. El punto fijo se llama centro de la circunferencia, y la distancia constante se llama radio. (Lehmann, 1989, p.99)
Otro ejemplo es la forma para determinar si una recta es secante a una circunferencia, pues, para la geometría analítica esto se puede comprobar sustituyendo la ecuación de la recta en la ecuación de la circunferencia, resolver la ecuación cuadrática resultante y ver si dica ecuación tiene dos soluciones reales, mientras que en la geometría euclidiana esta relación se da sólo observando la una figura dada o calculando distancias.
En general, los Programas de Estudio de Matemáticas del Ministerio de Educación Pública (MEP, 2012), en el nivel de décimo año, se solicita a los docentes desarrollar en los estudiantes habilidades específicas respecto a la circunferencia, desde un punto de vista analítico; algunas de estas habilidades son:
• Representar algebraicamente una circunferencia dado su centro y su radio (MEP, 2012, p.386).
• Aplicar traslaciones a una circunferencia (MEP, 2012, p.386).
• Determinar gráfica y algebraicamente si un punto se ubica en el interior o en el exterior de una circunferencia (MEP, 2012, p.386).
• Determinar si una recta dada es secante, tangente o exterior a una circunferencia (MEP, 2012, p.386).
• Representar gráfica y algebraicamente rectas secantes, tangentes y exteriores a una circunferencia (MEP, 2012, p.386).
Por otro lado, en este mismo documento curricular, también se plantean habilidades desde la geometría euclídea, como, por ejemplo, las que se plantean en el estudio de polígonos en el mismo año escolar. Algunas de estas habilidades son:
• Determinar la medida de perímetros y áreas de polígonos en diferentes contextos (MEP, 2012, p.389).
• Determinar las medidas de los ángulos internos y externos de polígonos en diversos contextos (MEP, 2012, p.389).
• Determinar la medida de la apotema y el radio de polígonos regulares y aplicarlo en diferentes contextos (MEP, 2012, p.389).
• Calcular perímetros y áreas de polígonos no regulares utilizando un sistema de coordenadas rectangulares (MEP, 2012, p.389).
Esta importante diferencia entre estas especialidades de la geometría, en ocasiones los docentes la dejan de lado a la hora de la enseñanza, es decir, no establecen una pauta y no aclaran con cual geometría en especifico se está trabajando.
Lo más recomendable para los educadores, para no caer en estos errores durante la enseñanza de estas ramas de la geometría, es estar consciente de las diferencias generales entre las geometrías euclídea y analítica, y cuando se trabaja en cada una de ellas, explotar las potencialidades de cada geometría, para que el proceso de enseñanza y aprendizaje sea más exitoso.
Bibliografía:
Lehmann, C., (1989). GEOMETRÍA ANALÍTICA. México D.F, Limusa S.A. Ministerio de Educación Pública. (2012). Programas de estudio de matemáticas. San José, Costa Rica. Recuperado de: https://www.mep.go.cr/sites/default/files/programadeestudio/programas/matematica.pdf

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