Reciclando problemas matemáticos

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La resolución de problemas es una actividad esencial en cualquier programa de Matemáticas y es “un instrumento poderoso para lograr el dominio de habilidades, la realización de procesos matemáticos así como el progreso de la competencia matemática”. El currículo costarricense de Matemáticas, asume como su enfoque principal la “resolución de problemas con énfasis en contextos reales” (MEP, 2012) y busca desarrollar capacidades cognitivas superiores, mediante la participación de procesos matemáticos, entre los cuales se encuentra el de Plantear y resolver problemas (Ruiz, 2018).

Por lo tanto el diseño de problemas y de tareas matemáticas pertinentes para este desarrollo de capacidades superiores es fundamental dentro del proceso de enseñanza y de aprendizaje de las matemáticas desde los primeros años escolares.

En el Proyecto Reforma de la Educación Matemática en Costa Rica hemos elaborado muchos materiales que coadyuvan al desarrollo de las capacidades mencionadas anteriormente y que pueden ser encontrados, por ejemplo, en los sitios  https://recursoslibres.reformamatematica.net, o https://minimoocs.reformamatematica.net.

Mi intención aquí consiste en proponer una idea que considero interesante. Consiste en reciclar un problema para que sea utilizado en distintos niveles o ciclos educativos, es decir, valerse de un mismo contexto o bien de contextos similares para diseñar tareas matemáticas para distintos ciclos escolares. La similitud entre contextos puede consistir en agregar alguna información adicional al contexto a ser reutilizado; cambiar la(s) pregunta(s) para aumentar el nivel de complejidad del problema o una combinación de ambas estrategias.

Utilizo la palabra reciclar como “someter un material usado a un proceso para que se pueda reutilizar”. Esto implica en realizar una depuración o transformación del material para que sea utilizado en un mismo ciclo o en un ciclo escolar distinto.

Más interesante aún sería lograr utilizar un mismo problema para estudiantes de la enseñanza elemental, enseñanza media y enseñanza superior y, en este sentido, uno de mis problemas favoritos es el siguiente:

Problema: Dado una hoja de papel tamaño carta (21,59cm x 27,94cm), doblarla sobre el lado más largo para formar un triángulo (conforme se indica en la figura abajo), de tal forma que el área del triángulo sea máxima.

 

Si la actividad es para estudiantes de primer, segundo, tercer o cuarto año de la Educación General Básica, sugiero que sean distribuidas hojas de papel cuadriculado a cada estudiante (o bien a cada grupo de estudiantes) para que procedan a realizar los dobleces y, por cada doblez, “cuente(n)” la cantidad aproximada de cuadritos para calcular el valor aproximado del área del triángulo. Respuestas como “el mayor triángulo que encontré es el que tiene unos 40 cuadritos” o “el triángulo con más cuadritos tiene unos 45 cuadritos” son las esperadas.

En quinto y sexto año (II Ciclo), séptimo y octavo año (III Ciclo) conviene trabajar con papel en blanco pues las personas estudiantes ya saben como calcular el área de un triángulo mediante fórmula y realizar multiplicaciones y divisiones con números decimales. En este caso pueden utilizar una regla graduada para medir la base y la altura de cada triángulo.

La persona docente puede plantear las siguientes preguntas:

¿Cuál es el tipo de triángulo formado?

¿Cuáles son los posibles valores para la altura del triángulo?

¿Cuál es la relación entre la altura y de la hipotenusa del triángulo?

Cada grupo puede completar una tabla con tres columnas como la que sigue:

Con esta información los estudiantes de octavo año pueden construir una representación gráfica del área en función de la altura para tener una idea más global de la situación.

Para noveno año (III ciclo) y para el ciclo Diversificado las personas estudiantes ya conocen el Teorema de Pitágoras y se espera que utilicen la representación algebraica para resolver el problema.

Como la suma de la altura y la hipotenusa del triángulo es 21,59 cm y si utilizamos la letra h para la medida de la altura del triángulo entonces 21,59 – h  es la medida de su hipotenusa, y por lo tanto (teorema de Pitágoras) la base del triángulo mide 
 Su área se representa algebraicamente como Esta es una función cuya representación gráfica no es conocida por los estudiantes de la enseñanza secundaria, pero se puede construir una representación tabular que contenga en una columna valores adecuados para h y en otra columna los valores aproximados del área A(h). Es recomendable utilizar una calculadora para obtener los valores de la segunda columna.

Finalmente, el problema puede ser propuesto en un curso universitario de cálculo diferencial e integral. En este caso se calcula la derivada de la función A(h), se determinan sus puntos críticos y se utilizan los criterios para determinar el punto de máximo y el valor máximo para el área del triángulo. También se puede utilizar algún software especial, por ejemplo Mathematica de Wolfram o bien una calculadora graficadora con capacidad de realizar cálculos simbólicos para comprobar que la solución encontrada es la correcta.

Referencias bibliográficas:

 Ministerio de Educación Pública de Costa Rica (2012). Programas de Estudio Matemáticas. Educación General básica y Ciclo Diversificado. Costa Rica: autor. Descargado de http://www.mep.go.cr/sites/default/files/programadeestudio/programas/matematica.pdf

Ruiz, A. (2018). Evaluación y pruebas nacionales para un Currículo de Matemáticas que enfatiza capacidades superiores. Comité Interamericano de Educación Matemática, S. A DE CV

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