Transformaciones en el plano, ornamentos y didáctica

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Diversos elementos relacionados con las transformaciones geométricas en el plano se ha ido introduciendo paulatinamente en diversos currículos escolares en el mundo, particularmente en países latinoamericanos como Chile, Perú, Colombia y Costa Rica.

La idea no es, necesariamente, introducirlas mediante un enfoque formal que permite un estudio profundo del tema, pues este carece de la riqueza didáctica del enfoque más visual e intuitivo que ve una transformación como un movimiento de puntos y figuras manteniéndolas congruentes a sí mismas, en el caso de las isometrías, o al menos manteniendo su forma como en el caso de las homotecias.

Las transformaciones geométricas son interesantes para ser estudiadas en sí mismas, pero también sirven como una herramienta para el estudio de otros temas de la geometría euclidiana desde otra perspectiva. Al respecto en NCTM (2010) se subraya su importancia al señalar que las transformaciones geométricas representan una forma alternativa para el estudio de la congruencia, semejanza y simetría (p. 62) y puede ser útil para visualizar otras propiedades y conceptos tales como el cálculo de áreas.

Simetría y diseños

Siguiendo a Askew (2016) se puede decir que, en general, el término simetría evoca formas armoniosas y, particularmente, a la simetría axial en el contexto de la geometría euclidiana, pero la palabra cotidiana “simetría” obtiene un significado matemático más amplio a través de la conexión con el reflejo y la rotación. Un objeto matemático es simétrico con respecto a una operación matemática particular si conserva ciertas propiedades, en este caso la apariencia, después de que se haya aplicado la operación. Las formas básicas de simetría -reflexión, rotación, cambio de escala, desplazamiento- y su combinación se pueden usar para deducir hechos menos conocidos, por ejemplo, el que enuncia que, en esencia, solo hay diecisiete patrones diferentes de “teselados” (pp. 8-9).

Además de la propia belleza de los diseños que se pueden obtener, este tipo de construcciones permiten visualizar, repasar o introducir conceptos y propiedades. Por ejemplo, pueden surgir preguntas que permiten ver más profundamente en el diseño elaborado.

Figura 1. Teselado “triángulo volador” y su proceso de construcción.

Frisos

Los frisos son cierto tipo de patrones simétricos según ciertas transformaciones a lo largo de una cinta. Matemáticamente un friso es una cinta o banda infinita y un patrón básico que se extiende indefinidamente en ambas direcciones. En la práctica se usan solo segmentos de una cinta. Existen siete clases diferentes de patrones de frisos (Meyer, 2006).

Los patrones de frisos involucran traslaciones, rotaciones de medio giro, reflexiones y reflexiones con deslizamiento. Cada uno de los siete tipo de patrones de frisos se genera mediante una o varias de estas transformaciones.

Figura 2. Cinco de los tipos de frisos que se pueden obtener a partir de una figura básica.

Rosetones

Se puede trabajar con rosetones en el contexto de las rotaciones. Estos se obtienen por rotaciones alrededor de un centro (vea la figura 3).

Figura 3. Rosetón de la Catedral Notre Dame, París.

Caleidoscopios

Otro tipo de decoración interesante son los caleidoscopios que se pueden obtener mediante reflexiones de una figura básica con respecto a rectas concurrentes. El de la figura 4 se obtiene reflejando sucesivamente una figura con respecto a cuatro rectas concurrentes.

Figura 4. Rosetón.

Desde el punto de vista didáctico, la identificación de patrones y otras propiedades que aparece en diversos ornamentos, así como la construcción de tales ornamentos, pueden servir como ejemplos muy interesantes en el estudio de las transformaciones.

Referencias

Askew, M. (2016). Geometrie. Von Pi bis Pythagoras. Berlin: Librero IBP.

Meyer, W. (2006) Roads to Geometry(Academic Press, San Diego)

NCTM (2010). Focus in High School Mathematics. Reasoning and sense making. (2nd ed) Reston: The National Council of Teachers of Mathematics, Inc.

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